On the geometry of cotangent bundles of lie groups

Abstract

Cette thèse est une contribution à l'étude de la géométrie des fibrés cotangents des groupes de Lie et des espaces homogènes. Nous caractérisons complétement les groupes des automorphismes des fibrés cotangents des groupes de Lie et montrons qu'ils sont des groupes de Lie super-symétriques (Theorem 2.3.2). Dans le cas particulier d'un groupe de Lie orthogonal, c'est-à-dire un groupe de Lie muni d'une métrique bi-invariante, nous utilisons la métrique pour réinterpréter les relations et retrouver des résultats connus de cohomologie. Le fibré cotangent T*G d'un groupe de Lie G peut être identifier au produit cartesien G x g*, où g* est l'espace dual de l'algèbre de Lie G de G. On peut alors munir T*G de la structure de groupe de Lie obtenue par produit semi-direct de G et G* via la représentation coadjointe. Cette structure de groupe de Lie fait de T*G un double de Drinfel'd. Nous avons également étudié les préderivations des algèbres de Lie des fibrés cotangents des groupes de Lie. Nous montrons que l'algèbre des préderivations des algèbres de Lie des groupes de Lie fibrés cotangents des groupes de Lie sont réductives. Müller a montré que toutes les préderivations d'une algèbre de Lie semi-simple sont des dérivations (intérieures). Nous étendons ce résultat en montrant que si un groupe de Lie est semi-simple alors toutes les préderivations de l'algèbre de Lie de son fibré cotangent sont des dérivations quoi que le bré cotangent soit non semi-simple (Theorem 3.4.1). Un autre thème abordé dans cette thèse est l'étude des métriques bi-invariantes sur les fibrés cotangents des groupes de Lie. Nous caractérisons toutes les métriques bi-invariantes sur les fibrés cotangents des groupes de Lie et étudions le groupe de leurs isométries. L'algèbre de Lie de ce groupe d'isométries n'est rien d'autre que l'algèbre de toutes les préderivations de l'algèbre du fibré cotangent qui sont antisymétriques par rapport à la structure orthogonale induite sur l'algèbre de Lie du fibré cotangent. Enfin, nous avons fait une introduction à la géométrie du groupe de Lie des transformations a nes de la droite réelle. Nous donnons des expressions explicites d'une forme symplectique, d'une structure affine, des géodésiques de cette structure affine. La forme symplectique donnant lieu à une solution des équations Classiques de Yang-Baxter, nous avons également étudié le groupe de Lie double de Drinfel'd du groupe des transformations affines de la droite réelle.