On continuos simple games

Abstract

Dans une situation de prise de décision collective, les règles de décision sont généralement utilisées pour agréger les avis des membres de la collectivité en un résultat final. A cet effet, plusieurs modèles de décision ont été proposés et étudiés dans la littérature, notamment les jeux simples par Neumann et al. (1947), les jeux de vote avec abstention par Felsenthal and Machover (1997), les (j; k) jeux simples par Freixas and Zwicker (2003) et les jeux simples continus introduits par Kurz 2014). Notre travail porte sur l’étude des jeux simples continus. L’une des problématiques centrale commune aux classes de jeux précédents porte sur le problème de la mesure du pouvoir de décision, autrement dit, peut-on formaliser l’aptitude d’un membre de la collectivité à influencer le résultat final? L’indice de Shapley-Shubik défini par Shapley and Shubik (1954) ainsi que la relation d’influence de Isbell (1958) font partie des outils qui ont été conçus pour évaluer le pouvoir de décision dans un Jeu simple. Ils ont été généralisés aux (j; k) jeux simples; puis aux jeux simples continus. Sur ces classes de jeux, beaucoup de défis mathématiques restent à relever, notamment ceux d’axiomatisation et de comparaison de ces mesures de pouvoir. Dans la première partie de notre travail, nous montrons que les jeux simples continus comme fonctions à plusieurs variables sont Riemann intégrables; ce résultat permet de justifier que l’extension de l’indice de Shapley-Shubik aux jeux simples continus proposée par Kurz (2014) est bien définie. Nous montrons en plus que l’indice de Shapley-Shubik sur les jeux simples tout comme sur les (j; k) jeux simples est une discrétisation de celui des jeux simples continus. Dans la deuxième partie, nous proposons une formule simple et pratique de l’indice de Shapley-Shubik sur les (j; k) jeux simples et nous fournissons la toute première justification axiomatique de cet indice. Nous obtenons aussi deux caractérisations du même indice dans le cadre des jeux simples continus. Dans la dernière partie, nous étudions les propriétés de la relation d’influence introduite par Kurz (2014) sur les jeux simples continus. Principalement nous caractérisons la classe des jeux simples continus sur laquelle cette relation est complète et nous montrons qu’elle est un pré ordre dès qu’elle est complète. Pour comparer la relation d’influence et le pré ordre induit par l’indice de Shapley-Shubik, nous proposons une condition suffisante pour que ces deux relations coïncident.