Topologie des cordes sur les espaces de Gorenstein

Abstract

String topology on Gorenstein spaces. String topology is the study of algebraic structures on the homology H_(LX) where LX denotes the free loop space of X. The first result was given by Chas and Sullivan in 1999. They took X = M a closed oriented manifold and showed that H_(LM) is a Batalin-Vilkovisky algebra. This result was extended by Cohen-Godin in 2004 for X = M as above and by Chataur-Menichi in 2007 when X = BG is the classifying space of compact Lie group. They proves that H_(LX) is a homological conformal field theory of degree dimM (respectively −rankG). While M and BG are very different in nature they are both Gorentein spaces. As proved by Felix-Thomas, in 2008, string operations can be defined in this more general situation. The purpose of my thesis is to provide an explicit way to compute these operations for Gorenstein spaces with the aid of Sullivan minimal models when the coefficients field is of characteristic zero. This method allows to rediscover the few known results (spheres and complex projective spaces) as well as to make computations with the Borel space associated with a group action of a compact connected Lie group.

La topologie des cordes est l’étude de structures algébriques sur l’homologie H∗(LX) où LX désigne l’espace des lacets libres d’un espace topologique X. Le premier résultat a été obtenu en 1999 par Chas et Sullivan. Ils considèrent le cas X = M est une variété fermée orientée et montrent que H∗(LX) est une algèbre de Batalin-Vilkovisky. Ce résultat a été étendu par Cohen-Godin en 2004 toujours pour le cas X = M comme ci-dessus et par Chataur-Menichi en 2007 pour X = BG le classifiant d’un groupe de Lie compact. Ils montrent que H∗(LX) est une théorie conforme homologique des champs de degré dim M (resp. −rang G). Bien que M et BG soient de types bien distincts ce sont tous les deux des espaces de Gorenstein. En 2008, Félix-Thomas ont montré que les opérations de la topologie des cordes peuvent être définies dans ce contexte plus général. L’objet de ma thèse est de fournir une description explicite de ces opérations pour les espaces de Gorenstein, en termes de modèles de Sullivan lorsque le corps des coefficients est supposé de caractéristique zéro. Cette méthode permet de retrouver les rares calculs connus (sphères et espaces projectifs complexes) et aussi d’effectuer des calculs sur l’espace de Borel associé à une action d’un groupe de Lie compacte connexe.