Homogénéisation déterministe d’équations cinétiques

Abstract

Dans cette thèse nous étudions, lorsqu’un petit paramètre tend vers zéro, le comportement asymptotique des solutions d’équations du type Vlasov. L’étude comporte deux parties correspondant à deux situations physiques spécifiques. Dans la première partie on se place dans le cas où les interactions entre particules sont gouvernées par un champ électromagnétique moyen auto-généré. Sous des hypothèses convenables sur le champ électromagnétique, considéré ici fortement oscillant, on obtient deux résultats majeurs : le premier (Théorème 17) établit une équivalence entre la dualité au sens des distributions et la dualité au sens de la moyenne ; tandis que le second (Théorème 19) est un théorème d’homogénéisation dans un cadre déterministe général. Ce résultat est illustré par quelques exemples concrets. Dans la deuxième partie on suppose que les interactions binaires entre particules sont prépondérantes, ce qui nous conduit à l’équation de Boltzmann linéaire. Nous obtenons ici deux principaux résultats. Le premier résultat est relatif à un problème de correcteur, lequel est résolu (Proposition 5) dans un cadre assez général; le second est un théorème d’homogénéisation (Théorème 22) démontré, comme dans la première partie, dans un cadre déterministe assez général. Ce résultat permet de constater que, sous des hypothèses de structure convenables, la densité des particules converge vers la solution d’une équation de diffusion avec drift. Des cas concrets sont présentés à titre d’illustration.