Etude numérique de quelques problèmes de diffusion et d’équations intégrales par la méthode décompositionnelle d'Adomian

Abstract

Dans cette thèse, nous étudions la méthode décompositionnellc d'Adomian pour la résolution numérique de deux grandes classes d'équations fonctionnelles : des équations aux dérivées partielles (EDP) de type diffusion réaction et des équations intégrales. Cette thèse est composée de six chapitres regroupés en trois parties. La première partie est une présentation générale de la méthode d'Adomian avec les principaux résultats dé convergence et de calcul des polynômes d'Adomian La deuxième partie concerne les EDP de type diffusion réaction : D'abord, nous rappelons des généralités sur les équations aux dérivées partielles associées aux phénomènes de diffusion. Nous retenons deux exemples de modèles de diffusion que nous traiterons par la suite: « la diffusion d'une souche de bactérie dans 1’eau» et « la diffusion de médicaments dans le cerveau ». Ensuite, nous procédons à la résolution effective des problèmes de diffusion réaction avec des résultats originaux. La formule canonique d'Adomian associée à EDP avec conditions initiales et aux limites est difficile à trouver. Nous proposons des approches originales pour y parvenir par adjonction de fonctions dans le premier terme de la série d'Adomian. Nous avons testé l'efficacité de nos idées sur des exemples concrets et montré un résultat de convergence théorique de l'algorithme d'Adomian appliqué aux problèmes de diffusion réaction. Enfin, nous abordons un problème de contrôle optimal associé à la diffusion de médicaments dans le cerveau pour une thérapeutique optimale dans le traitement de cancer. Pour cela nous avons fait un couplage de la méthode d'optimisation globale Alienor avec la méthode d'Adomian, ce qui nous a permis de ramener le problème de contrôle optimal à un problème d'optimisation classique sans contrainte. Dans la troisième partie, nous traitons des équations intégrales : Nous rappelons d'abord les différents types d'équations intégrales et les méthodes classiques de leur résolution numérique. Ensuite, nous abordons «l'étude des équations intégrales de première espèce par la méthode d'Adomian ». La méthode d'Adomian s'applique sans difficulté aux équations intégrales de deuxième espèce et celles de troisième espèce. Cependant une difficulté majeure résidait au niveau des équations de première espèce qui ne sont pas sous la formé canonique d'Adomian. Nous montrons par des techniques originales comment construire des formes canoniques appropriées des équations de première espèce afin de rendre possible leur résolution par la méthode décompositionnelle.