Application de la théorie des semi-groupes a la résolution des systèmes d’équations sous la forme « Birth and Death »

Abstract

Les équations différentielles tirent leur origine dans la résolution des problèmes de physique, de biologie, d’économie, de mécanique ou de démographie proposés aux mathématiciens. En mathématiques, et particulièrement en analyse, les semi-groupes d’opérateurs sont étudiés en particulier pour résoudre les équations différentielles de la forme X′ = AX + BX où A est un générateur de semi-groupe et B est le perturbateur.Mais A + B n’est pas toujours générateur d’un semi-groupe.Dans ce travail, notre objectif consiste à montrer que l’opérateur linéaire A satisfait les conditions du théorème de Hille-Yosida donc génère un semi-groupe fortement continu (GA(t))t≥0. Et que le perturbateur B satisfait les conditions du théorème généralisé des perturbations de Kato ce qui établit que la somme d’opérateurs A + B génère un semi-groupe (GK(t))t≥0 où K est une extension de A + B. Et enfin nous allons appliquer concrètement ce procédé pour montrer que les systèmes d’équations différentielles sous la forme "birth and death" u′(t) = Au(t)+Bu(t) admettent les solutions sous la forme u(t) = GK(t)u(0).