Discrete exciton dynamics of the davydov model with saturable nonlinearities

Abstract

Dans cette thèse, nous montrons que l’état vibrationnel du mode amide-I des protéines hélices alpha est modélisé par l’équation discrète de Schrödinger non linéaire (DSNL) avec des non-linéarités saturables. Ceci est obtenu par une extension du modèle de Davydov permettant de prendre en compte la compétition entre la compression et la dilatation locale du réseau, et par suite, la compétition entre les non-linéarités saturables focalisante et défocalisante. Les solitons discrets centrés sur un site, sur deux sites, ainsi que les solitons discrets à plusieurs bosses (SDPB) sont trouvés numériquement et leurs stabilités analysés. A l’issu de cela, nous obtenons les diagrammes d’existence et de stabilité de tous les types de SDPB centrées sur un site. Nous notons aussi que la stabilité des SDPB centrées sur un site dépend non seulement de la distance entre deux pics mais aussi du nombre de pics, pendant que leurs homologues ayant au moins une bosse centrée sur deux sites sont instables. Une étude de la mobilité est réalisée et il apparaît que, en fonction de la non-linéarité saturable d’ordre supérieur, le SDPB comme mécanisme de transport d’énergie vibrationnelle le long de la chaîne de protéine est envisageable. Par la suite, l’influence de l’interaction dipolaire à longue portée est analysée sur le modèle de Davydov avec des non-linéarités saturables. Dans ce sillage, nous étudions analytiquement les régions d’une instabilité modulationnelle (IM) discrète des ondes planes et il en découle que ces régions décroissent au fur et à mesure que le nombre de plus proches voisins (m) dans les interactions augmente. Nous montrons aussi à travers le gain que lorsque m augmente, la largeur de la bande de l’instabilité décroît. En outre, il est noté que la saturation a aussi un effet antagoniste sur le gain. Les simulations numériques indiquent que la présence des interactions au-delà des premiers voisins (APV) induit une correction à la baisse du temps d’apparition de l’IM. Après avoir trouvé les solitons discrets (SD) et SDPB numériquement pour m=1,2,3 ; la dépendance de la largeur et de la hauteur de ces solutions en fonction de m est discutée. Une étude de la mobilité est ensuite réalisée et il en résulte que les interactions APV accroissent la vitesse des SDPB. Bien plus, la collision de deux SDPB est effectuée et il en ressort principalement que les interactions APV conduisent à la formation de larges solitons stationnaires. Dans un second temps, nous montrons que le transport de l’énergie vibrationnelle dans une chaîne de protéine modélisée par l’équation DSNL avec des non-linéarités saturables peut être fait à travers le phénomène de supra-transmission non linéaire : nous cherchons numériquement et semi analytiquement les amplitudes seuils au-dessus desquelles la propagation des on des prend place dans la chaîne de molécule. Subséquemment, il est établi que le paramètre de non-linéarité saturable d’ordre supérieur réduit l’amplitude seuil de supra-transmission. Nous prouvons également que les multibreathers discrets de gap peuvent être transmis ou supratransmis selon que la fréquence appartient au gap inférieur. Plus précisément, les multibreathers discrets de gap sont supratransmis près du bord du gap inférieur. Bien après, la solution de type onde extrême discrète (OED) découlant de l’équation DSNL avec des non-linéarités saturables et un faible désordre est étudiée numériquement. Cette onde extrême biologique représente l’amplitude de probabilité complexe associée à la probabilité de trouver l’état vibrationnel du mode amide-I dans un site particulier. Nous observons que l’augmentation du coefficient de non-linéarité saturable d’ordre supérieur favorise la formation des multiples OED (MOED), allant de pair avec une promotion des MOED de courtes durées de vie et une décroissance en amplitude des MOED de longues durées de vie. Finalement, nous répertorions numériquement les différentes interactions entre les SDPB en mouvement et des impuretés ponctuelles dans les réseaux DSNL représentant le transport de l’énergie vibrationnelle dans une chaîne de protéine. Il est démontré que, mis à part le cas de la transmission totale du SDPB, le phénomène de collision interne accompagne tous les types de scénarii liés aux interactions sus-évoquées, aussi bien pour des impuretés attractives que répulsives. De surcroît, pour des fortes valeurs du coefficient de l’impureté attractive, l’interaction entre soliton à deux bosses et impureté peut donner lieu à un piégeage sur un site autre que celui abritant l’impureté. S’agissant des solitons à trois bosses, la transmission, le piégeage et la réflexion sont simultanément enregistrés pour certains paramètres. Dans le cas du soliton à trois bosses introduit entre deux impuretés ponctuelles répulsives, des va-et-vient sont observés ainsi qu’un comportement individualiste croissant des bosses à travers le temps. Toutefois, le soliton à deux bosses lancé dans les mêmes conditions débouche sur un soliton stationnaire de grande amplitude et à une bosse.

ondes extrêmes discrètes.