Rank-Metric Codes Over Finite Principal Ideal Rings and Applications in Wireless Communication Systems.

Abstract

Les codes en métrique rang ont été étudiés sur des corps finis et les applications ont été données en codage réseau et en cryptographie. Des travaux récents sur le codage réseau basé sur les réseaux de points emboîtés permettent de construire des schémas de codage réseau de couche physique plus efficaces avec un codage réseau sur les anneaux commutatifs finis principaux. Dans cette nouvelle approche algébrique, il est nécessaire de détecter et de corriger les erreurs introduites dans le système. Dans cette thèse, il est montré que certains résultats de la théorie du codage en métrique rang sur les corps finis peuvent être étendus aux anneaux commutatifs finis principaux. Plus précisément, la métrique rang est généralisée et la borne de Singleton en métrique rang est établie. La définition des codes de Gabidulin est étendue et leurs propriétés sont préservées. La théorie des bases de Gröbner est utilisée pour donner des algorithmes de décodage unique, de décodage en liste minimal et de décodage d’erreur effacement des codes de Gabidulin entrelacés. Ces résultats sont ensuite appliqués dans le codage spatio-temporel et dans le codage réseau linéaire aléatoire, comme dans le cas des corps finis. Plus précisément, deux systèmes du codage réseau linéaire aléatoire existants sont combinés pour améliorer la correction d’erreurs.