Application de la technique de Bochner et les sous-variétés dégénérées d’une variété semi-riemannienne

Abstract

Cette thèse traite de la technique de Bochner et de quelques résultats sur les sous-variétés dégénérées d'une variété semi-riemannienne. Pour le cas des variétés riemanniennes (cas particulier d'une variété semi-riemannienne), la technique de Bochner donne lieu à des théorèmes et les caractérisations des champs de vecteurs particuliers (conformes, Killing, harmoniques ...) sont des formes harmoniques, Dans cette thèse nous étudions cette technique dans le cas général des variétés semi-riemanniennes. Nous revisitons les différentes formules liées à cette technique en semi-riemannien et donnons des résultats caractérisant certains champs de vecteurs dont formes harmoniques. Nous appliquons cette technique aux sous-variétés maximales de type espace. Nous généralisons ces formules aux hypersurfaces dégénérées. L’élément de volume sur hypersurface dégénérée d’une variété semi-riemannienne orientée a été déterminé. Ainsi nous établissons sur ces hypersurfaces l'opérateur de type star de Hodge, la codifférentielle de l'opérateur de Laplace Beltrami. Un produit de qualité a été défini. Nous obtenons ainsi s résultats de caractérisations des formes harmoniques semblables au cas des variétés semi-riemannienne. La détermination de cet élément de volume sur l'hypersurface dégénérée a permis de faire le calcul intégral et d'établir le théorème de la divergence pour les variétés semi-riemannienne avec bord (spécialement avec un bord dégénéré). Enfin nous classifions les sous-variétés dégénérées qui admettent la réduction de leurs codimensions.