Topologie des cordes sur les espaces de Gorenstein

Abstract

La topologie des cordes est l’étude de structures algébriques sur l’homologie H (LX) où LX désigne l’espace des lacets libres d’un espace topologique X. Le premier résultat a été obtenu en 1999 par Chas et Sullivan. Ils considèrent le cas X = M est une variété fermée orientée et montrent que H (LX) est une algèbre de Batalin-Vilkovisky. Ce résultat a été étendu par Cohen-Godin en 2004 toujours pour le cas X = M comme ci-dessus et par Chataur-Menichi en 2007 pour X = BG le classifiant d’un groupe de Lie compact. Ils montrent que H (LX) est une théorie conforme homologique des champs de degré dimM (resp. −rang G). Bien que M et BG soient de types bien distincts ce sont tous les deux des espaces de Gorenstein. En 2008, Félix-Thomas ont montré que les opérations de la topologie des cordes peuvent être définies dans ce contexte plus général. L’objet de ma thèse est de fournir une description explicite de ces opérations pour les espaces de Gorenstein, en termes de modèles de Sullivan lorsque le corps des coefficients est supposé de caractéristique zéro. Cette méthode permet de retrouver les rares calculs connus (sphères et espaces projectifs complexes) et aussi d’effectuer des calculs sur l’espace de Borel associé à une action d’un groupe de Lie compacte connexe.