Hopf bifurcation analysis and optimal harvest in delayed Leslie-Gower predator-prey models with preys refuge and supply of additional food to predators

Abstract

Depuis la formulation du modèle de Lotka-Volterra, considéré de nos jours comme le premier et modèle de base traduisant les interactions entre deux espèces, dont l’une (prédateur) se nourrit de l’autre (proie), plusieurs autres modèles ont été proposés par plusieurs chercheurs. Les modèles proies-prédateurs de Leslie-Gower font partie de ces modèles. Dans la littérature, plusieurs modèles modifiés de Leslie-Gower avec refuges pour les proies, différentes fonctions réponses, source additive fixe de nourriture pour le prédateur, récolte de l’une ou des deux espèces, retard(s) discret(s) ont été formulés et étudiés. Dans cette thèse, deux modèles proies-prédateurs de Leslie-Gower sont formulés et étudiés. La formulation du premier modèle est faite avec les hypothèses suivantes : l’introduction d’un retard discret dans la dynamique des prédateurs, la prise en compte d’un refuge pour les proies, la récolte des proies à l’aide d’une fonction réponse définie avec deux seuils de récolte. Le but de ce modèle est d’étudier l’impact du retard et de la récolte sur la dynamique du modèle de Leslie-Gower. Une analyse de stabilité complète du modèle avec et sans retard est faite avec la détermination des conditions d’existence des points d’équilibre et l’étude de leur stabilité locale. Considérant le retard discret comme paramètre de bifurcation, nous étudions l’impact de ce retard sur la stabilité de l’équilibre de coexistence. Nous observons la possibilité d’un changement de stabilité et l’existence de valeurs critiques (de bifurcation) pour lesquelles il y’a apparition d’une bifurcation de Hopf. En appliquant la théorie de la forme normale et le théorème de la variété centrale, nous déterminons la direction de la bifurcation de Hopf et la stabilité de la solution périodique. Le problème de la récolte optimale des proies est étudié à en appliquant la théorie du contrôle optimal dans le cas particulier des modèles avec retard. Des simulations numériques sont faites pour une illustration graphique des résultats obtenus par calculs. Le deuxième modèle quant à lui, est aussi formulé à partir du modèle de Leslie-Gower. Il prend en compte les hypothèses suivantes : la présence d’une quantité fixe de nourriture additive pour le prédateur, un retard discret prenant en compte le temps de maturité pour la dynamique des prédateurs, la possibilité de refuge des proies, une récolte des proies par une fonction récolte continue définie à l’aide d’un seul seuil. Une analyse qualitative du modèle sans retard est faite. La stabilité des équilibres du modèle sans retard est étudiée. L’impact de la nourriture additive, du refuge et de la récolte est étudié en exploitant des diagrammes de bifurcation construits à cet effet. Comme dans le cas du premier modéle, l’étude de l’impact du retard discret est faite en considérant le retard comme paramètre de bifurcation. La stabilté de l’équilibre de coexistence est étudiée. La possibilité d’avoir une bifurcation de Hopf pour des valeurs critiques du retard est prouvée. Une fois de plus, la direction de la bifurcation de Hopf et la stabilité de la solution périodique sont déterminées en appliquant la théorie des formes normales et le théorème de la variété centrale. L’illustration des résultats théoriques obtenus par calculs est faite par des simulations numériques.