Écoulement de stokes autour d’une sphère imperméable

Abstract

L’écoulement de stokes autour d’une sphère imperméable est un thème central dans l’étude des fluides visqueux et des phénomènes de transport dans des applications allant de l’ingénierie à la biologie. Ce mémoire a pour objectif de déterminer les champs de vitesse, le champ de pression et les forces de trainée agissant sur une sphère placée dans un fluide en mouvement, en se concentrant sur le régime de stokes ou les effets de la viscosité prédominent sur les forces d’inertie. Dans un premier temps, nous introduirons les fondements théoriques en exposant les équations de Navier-stokes dans le cadre du régime de stokes, qui s’applique à des écoulements à faible nombre de Reynolds. Nous établirons les équations du mouvement en coordonnées sphériques, en tenant compte des conditions aux limites imposées par la sphère, spécifiquement que la vitesse du fluide à la surface est nulle en raison de son imperméabilité. L’analyse des champs de vitesses sera conduite à l’aide des méthodes analytiques, notamment par l’application des méthodes de séparation des variables, ce qui permettra de décrire le comportement du fluide dans le domaine autour de la sphère. Par la suite, nous aborderons la détermination du champ de pression autour de la sphère. En utilisant la projection de l’équation de Navier-stokes dans la direction de l’écoulement incidente, nous dérivons l’expression du champ de pression, en mettant en évidence son interaction avec le champ de vitesse et son rôle essentiel dans le calcul de la force de trainée. Le dernier volet de notre étude se concentrera sur les forces de trainée. En appliquant la loi de stokes, nous établirons une relation quantitative entre la force de trainée, les propriétés du fluide telles que la viscosité et la vitesse d’écoulement, ainsi que le rayon de la sphère. Il en ressort que la vitesse du fluide croit lorsqu’on s’éloigne de la surface de la sphère en suivant un modèle parabolique. La variation de la pression dépend de la zone du fluide autour de la sphère considérée. Elle croit lorsqu’on s’éloigne de la sphère dans la partie supérieure du plan passant par le centre de la sphère et perpendiculaire à la direction de l’écoulement incidente. Les forces de trainées quant à elles s’opposent au mouvement de la sphère dans le fluide visqueux et dépendent iniquement du nombre de Reynold. En conclusion l’écoulement de stokes autour de la sphère est un modèle essentiel pour comprendre les interactions entre les solides et les fluides visqueux. Nos résultats contribuent à la compréhension fondamentale de ces phénomènes.