Averaging principle for stochasticdifferential equations

Abstract

Abstract

In this thesis, we study the averaging problem for multivalued stochastic differential equations and for stochatic differential equations driven by double stochastic integrals. The averaging principle consists in showing that the solution of a differential equation whose coefficients are pertubed by a pro cess describing a fast motion can be approxiamted by that of sorne unperturbed system obtained by averaging out the fluctuations arising from the fast motion. This principle play an important role in celestial mechanics, oscillation theory, radiophysic and in many others areas. The first mathematical rigorous justification of this principle go back to Bogolyubov (1945). Later on, this principle has attracted much attention of many researchers and nowdays it is a regular area of research. In this work, Chapter 1 deals with a brief historical overview of previous works. In Chapter 2, we extend a result of Liptser and Stoyanov (1990) to reflected stochastic differential equations whose sol ution is constrained 1,0 stay in the domain of a convexe function. Chapter 3 is devoted 1,0 the averaging principle for doube Itô stochastic differential equations. Under sorne conditions introduced in Hashemi and Heunis (1998), we prove that the solution of the pertubed equation can be approximated in L2 by that of the averaged one. We hope that the L2-convergence can be improved to almost sure one. In an Appendix , we co11ect sorne results needed in Chapter 3.

Résumé Dans cette thèse, on étudie le problème de moyennisation pour les équations différentielles stochastiques multivoques ainsi que pour les équations différentielles stochastiques dirigées par des intégrales stochastiques doubles. le principe de moyennisation consiste à approcher la solution d'une équation différentielle dont les coefficients sont pertubés par un processus décrivant un mouvement rapide, par celle de l'équation obtenue en moyennisant les coefficients, ce qui a pour effet de faire disparaître les oscillations dùes au processus pertubateur. ce principe joue un rôle très important en mécanique céleste, en théorie des oscillations, en radiophysique et dans d'autres domaines. la première justification mathématique rigoureuse de ce principe est dùe à bogolyubuv (1945). depuis son introduction, le principe de moyennisation a attiré l'attention de nornbreux chercheurs et constitue aujourd'hui un domaine de recherche très actif. dans ce travail, le chapitre 1 est consacré à un bref aperçu historique des travaux antérieurs. dans le chapitre 2, nous étendons un résultat de liptser et stoyanov (1990) aux équations différentielles stochastiques réfléchies dont la solution est contrainte à rester dans le domaine d'une fonction convexe. le chapitre 3 traite du principe de moyennisation pour les équations différentielles stochastiques doubles d'itô. sous des conditions introduites dans hashemi et heunis (1998), nous établissoi1'3 une convergence dans L2 de la solution de l'équation de départ vers celle de l'équation moyennisée. nous espérons plus tard pouvoir remplacer la convergence en probabilité par une convergence presque sûre. dans un appendice, nous avons rassemblé quelques résultats dont nous avons besoin dans le chapitre 3.