Averaging principle for stochastic differential equations

Abstract

Dans cette thèse, on étudie le problème de moyennisation pour les équations différentielles stochastiques multivoques ainsi que pour les équations différentielles stochastiques dirigées par des intégrales stochastiques doubles. Le principe de moyennisation consiste à approcher la solution d'une équation différentielle dont les coefficients sont pertubés par un processus décrivant un mouvement rapide, par celle de l'équation obtenue en moyennisant les coefficients, ce qui a pour effet de faire disparaître les oscillations dûes au processus pertubateur. Ce principe joue un rôle très important en mécanique céleste, en théorie des oscillations, en radiophysique et dans d'autres domaines. La première justification mathématique rigoureuse de ce principe est dûe à Bogolyubuv (1945). Depuis son introduction, le principe de moyennisation a attiré l'attention de nombreux chercheurs et constitue aujourd'hui un domaine de recherche très actif. Dans ce travail, le Chapitre 1 est consacré à un bref aperçu historique des travaux antérieurs. Dans le Chapitre 2, nous étendons un résultat de Liptser et Stoyanov (1990) aux équations différentielles stochastiques réfléchies dont la solution est contrainte à rester dans le domaine d'une fonction convexe. Le Chapitre 3 traite du principe de moyennisation pour les équations différentielles stochastiques doubles d'Itô. Sous des conditions introduites dans Hashemi et Heunis (1998), nous établissons une convergence dans L2 de la solution de l'équation de départ vers celle de l'équation moyennisée. Nous espérons plus tard pouvoir remplacer la convergence en probabilité par une convergence presque sûre. Dans un Appendice, nous ayons rassemblé quelques résultats dont nous avons besoin dans le Chapitre 3.