Contribution à l'étude des Variétés d'Osserman et des Variétés de Finsler d'Osserman

Abstract

Cette thèse traite de deux généralisations de la notion de variété d’Osserman. La notion de variété affine d’Osserman a été introduite, afin de construire des métriques pseudo-riemanniennes d’Osserman sur le fibré contingent d’une variété affine via l’extension riemannienne. Dans cette thèse nous nous sommes intéressés à la construction des métriques pseudo-riemanniennes Walker-Osserman. Deux familles de connexions sur une 3-variété et une 4- variété ont été étudiées. Le résultat principal de ce travail est la construction de deux familles de métriques pseudo-riemanniennes Walker-Osserman de signature (3 ; 3) et de signature (4 ; 4). Un autre travail est la définition d’une variété de Finsler-Osserman. En effet, la géométrie de Finsler est souvent décrite comme une généralisation de la géométrie riemannienne au sens où au lieu d’avoir une collection de produit scalaire pour chaque espace tangent d’une variété lisse, nous avons une famille de norme de Minskowski sur chacun de ces espaces. Cette géométrie est d´désormais bien connue, mais bon nombre de questions résolues en géométrie riemannienne attendent d’être traitées en géométrie de Finsler. Dans la perspective d’établir des résultats analogues généralisant la théorie classique, nous nous intéressons dans cette thèse à l’étude des conditions pour qu’une variété de Finsler soit d’Osserman. L’opérateur de Jacobi en riemannien assez bien connu s’est révélé un outil fécond. Ainsi tout en utilisant la formulation intrinsèque de la connexion de Chern, l’opérateur de Jacobi en Finsler est défini. C’est ainsi qu’une description d’une famille de connexion de Chern d’Osserman en dimension 2 est donnée dans ce travail.