Modèles Proie-Prédateur avec interactions non locales pour la formation des patterns.

Abstract

Dans ce travail, nous analysons la dynamique spatio-temporelle de deux modèles "proie-prédateur" avec fonction réponse de Holling type II dans lesquels des interactions non locales sont introduites. Ces interactions non-locales expriment principalement la compétition intra-spécifique : entre les proies pour la consommation des ressources environnementales présentes, et la consommation non locales des proies par les prédateurs. Elles sont modélisées au travers d’une fonction noyau et d’un produit de convolution exprimant la probabilité qu’une des espèces étudiées puisse interagir avec une autre et que cette interaction ait un impact positif ou négatif. Pour chacun des modèles étudiés, nous arrivons à expliciter l’analyse de stabilité linéaire. De cette analyse de stabilité linéaire, nous précisons les conditions d’apparitions des structures spatiales périodiques sur la population des proies et sur celles des prédateurs. Nous montrons qu’il est nécessaire dans les deux modèles étudiés de considérer les interactions non locales pour qu’il y ait émergence de structures spatiales. En effet, sans ces interactions non -locales, nous constatons que les conditions de Turing pour l’apparition des patterns ne sont pas remplies. Grâce aux simulations numériques, nous arrivons à illustrer les conditions d’apparitions des patterns établies théoriquement. Le choix de la méthode numérique est celle du non standard aux différences finies, ceci pour être sûr de conserver la positivité de nos solutions numériques.