Changement de Variables dans les Intégrales

Abstract

Dans ce travail, nous effectuons le changement de variables dans les intégrales (de Lebesgue dans Rn,n ≥ 1). Précisément, nous établissons la formule suivante dite de changement de variables :SV f(y)dy = SU f(φ(x))SD(φ)(x) Sdx, où U et V sont deux ouverts de Rn,f est une fonction mesurable de V Ð→R+,φ est un difféomorphisme de classe C1 de U sur V,D(φ) est le déterminant de la matrice Jacobienne de φ et dx est la mesure de Lebesgue sur Rn. En utilisant la notion de mesure image, nous montrons que la formule est vraie pour les fonctions indicatrices. Ensuite, partant du fait que toute fonction étagée est combinaison linéaire de fonctions indicatrices, nous établissons la formule pour les fonctions étagées ; et enfin pour des fonctions mesurables ; car toute fonction mesurable est limite d’une suite de fonctions étagées.