Contrôle optimal dans les équations différentielles stochastiques et applications en épidémiologie

Abstract

Dans cette thèse, il s’agit du contrôle optimal des systèmes dynamiques stochastiques ou modèles stochastiques, et de ses applications en épidémiologie. Un modèle stochastique donne non seulement la prédiction des variables de sortie, mais il tient aussi compte des perturbations de nature aléatoire (ou "bruits blancs") de ces variables. Une telle étude ne peut se faire sans avoir au préalable un modèle stochastique approprié qui décrit mieux un phénomène évolutif en épidémiologie. D’où le besoin d’avoir des modèles stochastiques, de les analyser afin de les contrôler. Après avoir posé la problématique relative à notre étude et rappelé des outils mathématiques nécessaires, nous avons abordé théoriquement les concepts du contrôle des équations différentielles stochastiques (EDS) qui revèlent qu’un système dynamique stochastique dont le comportement est inquiétant sans contrôle, peut avoir un comportement acceptable avec le contrôle. En guise des applications en épidémiologie de ces concepts, nous modélisons la dynamique de transmission des infections qui relève du domaine stochastique et non déterministe. Ainsi la dynamique que nous modélisons, prend en compte des bruits blancs aléatoires et donne un modèle stochastique simulable. Notre étude vise à chercher les actions adéquates ou contrôle optimal qui influence la dynamique de la diffusion de l’infection dans une population donnée, afin de reduire le nombre des individus infectés, obtenir un gain en espérance de vies humaines et reduire les dépenses en médicaments. Pour ce faire, nous introduisons un processus de contrôle dans la dynamique stochastique de propagation d’une maladie infectueuse afin de la contraîndre à moindre coût et à un temps record à atteindre le but recherché. Plusieurs modèles des maladies existent déjà, mais la plupart de ceux-là sont déterministes ou ne répondent pas à nos hypothèses de modélisation. Motivés par le fait qu’un modèle déterministe n’est qu’un cas particulier du modèle stochastique qui traduit mieux un phénomene évolutif du monde réel, nous avons besoin des modèles stochastiques. La méthode de la formulation des modèles stochastiques à partir d’un modèle déterministe SIS, SIR ou SEIR existe dans [21, 27, 28, 92] ; mais elle est quelquefois fastidieuse à cause de la grande taille des matrices de transition de chaine de Markov que cette méthode emploie. En s’inspirant de cette méthode existante, nous avons utilisé une méthode palliative pour formuler les modèles stochastiques de la dynamique d’une Maladie Sexuellement Transmissible (MST), du VIH/SIDA, de Tuberculose (TB) et du Cancer du Col utérin (CC) ; et puis les analyser en vue de leur validation. Le contrôle optimal représentant les actions adéquates à agir sur un critère bien défini, introduit dans nos modèles formulés, nous a permis d’influencer leur comportement mis en évidence par les simulations numériques.