Approximation par éléments finis de classe c0 de coques épaisses linéairement élastiques

Abstract

La théorie de coques épaisses en est encore au stade embryonnaire. La plupart des modèles utilisés en sciences de l'ingénieur sont une adaptation heuristique de la théorie des coques minces. De ce fait, on ne connaît pas de modèles mathématiques de coques épaisses pourvus de toute la rigueur voulue au plan scientifique. En 1999, NZENGWA et TAGNE [32] proposent un modèle statique rigoureusement déduit du modèle d'élasticité tridimensionnelle par une analyse limite de problèmes variationnels obtenus par _ multiple scaling _. La solution limite obtenue vérifie l'hypothèse de déformation plane, faisant apparaître clairement le changement de courbure de Gauss dont l'importance mécanique est reconnue en ingénierie. De plus, le modèle indique clairement comment calculer les contraintes de cisaillement transversal qui permettent de mieux dimensionner les coques épaisses. En 2005, NZENGWA [33] propose un modèle dynamique utilisant l'hypothèse de la loi de comportement de la structure coque épaisse linéairement élastique. Dans toute la suite de la thèse, le vocable _Modèle N-T_ renvoie à celui proposé dans [32], tandis que celui construit dans [33]sera désigné par Nzengwa. Notre premier travail a consisté à mettre au point une stratégie de benchmark des modèles N-T et Nzengwa en vue de leur validation et de les comparer aux estimateurs existants. Nous avons commencé par écrire un code numérique de coque épaisse basé sur des éléments finis de classe C0, c'est -à-dire de régularité minimale, ce qui en soit est de nature à engendrer des difficultés majeures. Nous avons utilisé des plus récentes méthodes développées à savoir _ Polynomial Preserving Recovery _ déduites du _ Gradient Recovery Method _ que nous avons adapté aux modèles N-T. Ceci a permis de développer un nouvel élément _ni appliqué à ce modèle que nous avons testé sur les coques sphériques et cylindriques. La stratégie a consisté à comparer les résultats aux théories des coques sphériques et cylindriques minces car le modèle N-T se présente comme une amélioration des modèles usuels de coques minces. Les résultats obtenus ont confirmé la justesse du code et la rapidité de la convergence ; car cette méthode pour le choix des éléments finis utilise les surfaces planes nécessitant beaucoup d'éléments et peu de degrés de liberté ; donc moins d'espace mémoire lors de la mise en œuvre par ordinateur. Aussi une analyse numérique du modèle a conduit à mieux cerner la limite entre ce modèle N-T et ceux existants tels que Kirchho_-Love et Reissner-Mindlin. Bien plus, par la même méthode, nous avons validé le modèle statique de Nzengwa en développant un élément _ni de coques épaisses linéairement élastiques sur une coque sphérique creuse sous pression interne pour laquelle une solution analytique existe. En maintenant le rayon de la coque R constant et en faisant varier son épaisseur h, nous avons pu apprécier la quasi-coïncidence et l'écart entre l'approximation numérique et les résultats analytiques en fonction du ratio 2_ = h=R. Bien plus, nous avons apprécié l'impact de la fonction _ stretching _ qui permet d'obtenir un résultat presque identique au résultat analytique pour les ratios variant de 0:06 jusqu'à 0:75 au-delà duquel les écarts dépassent 1%. Ceci représente un gain énorme sur le coût de calcul.